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      中學數學與大學數學銜接探討

      所屬欄目:數學論文 發布日期:2020-09-19 10:50 熱度:

         國內正常教學體系下的數學,要經歷幾次升學的轉變,其中最不受重視,而思維、邏輯轉變最大的當屬中學數學到大學數學的變化。很多初入大學校園的學生在剛接觸高等數學的時候,由于在中學形成的思維定勢、文理科數學的教學內容與學習要求上的差異,無法適應大學數學的教學方式與思維方法,甚至出現了高考成績越突出大學數學學習起來越吃力的現象。這篇文章從幾個角度出發,探討中學數學與大學數學在銜接過程中出現的問題,并提出了對應的解決策略,從而讓初上大一的廣大學子能夠更快更有效地進入大學的學習環境中。

      中學數學與大學數學銜接探討

        一、中學數學與大學數學銜接過程中所遇到的問題

        (一)知識的重疊

        在高中階段,學生都學習了導數的概念,懂得解決簡單的導數問題,學習優秀者還掌握了運用導數求解函數的單調性與極值。但這些所謂的“掌握”只停留在按部就班、機械化的訓練所形成的固定的解題套路上。幾乎超過90%的學生不理解導數的概念,不明白為什么可以用導數來描述函數的單調性與極值,對導數這一知識點的來龍去脈一無所知。這就造成了一個嚴重的后果,學生在大學數學課堂的學習過程中認為自己已經掌握了這部分內容,對導數部分的學習掉以輕心,無法像一個初學者一般的認真研習概念、推演公式和舉一反三。最終,學生對導數的認知仍然停留在高中階段那種“知其然,而不知其所以然”的狀態,但我們知道極限與微分是整個微積分的基礎,是萬丈高樓的地基。同樣的情況還出現在解析幾何、定積分等知識點上。

        (二)知識的斷層

        由于高中階段數學分為文科數學與理科數學,高考大綱對二者的要求不相同,二者在高中階段的教學內容不盡相同,所用教材也不一樣,如計數原理、排列組合、隨機變量與空間解析幾何這些知識點不會出現在文科數學的教學過程中,這就可能導致同一個專業同一個班級的學生在同一知識的認識上出現較大的差異。一個最為突出例子:經管類專業的學生在高中階段大部分是文科生,在給經管類班級講授《概率論與數理統計》課程中發現絕大部分學生對排列組合等計算原理知識一無所知,在計數過程中采用的是枚舉法。然而,大學課程所用大多數教材的編寫都是基于排列組合這一基本知識之上,在教學過程“默認”了學生已具備這一基本知識。這就出現了很嚴重的知識斷層,學生從首課開始就注定無法跟上授課的進度。高等數學中反三角函數、三角函數的和差積互化公式與立方和差公式等內容也出現了上述同樣的問題。

        (三)思維的差異

        中學數學與大學數學的思維方式存在較大的差異。高中數學的總體思維模式是“模型化思想”與“固定思維”,強調的是具體化的知識點、問題與方法相結合形成的一套思維模式;而大學數學的思維模式中,最重要的是“極限思維”與“抽象思維”。這兩種截然不同的思維方式讓很多大一新生無法接受最基本的“ε-N”、“ε-δ”定義,對這種嚴謹的數學定義不知所云。學生對著最基礎最重要的極限概念“吃不透”,可想而知后面學習連續、微分和積分將會非常吃力。鑒于這些普遍存在的問題,做好中學數學與大學數學的銜接就成為廣大教師與學生要解決的問題。

        二、知識斷層的填補

        作為大一新生的第一位數學教師,應該對高中課本與中學課程標準有一定的了解,這可以更清晰地了解學生的知識儲備與知識結構,針對學生高中已學與大學將學知識內容的斷層進行適當的填補。一般的,正式課程前的預備知識包括:《高等數學》中反函數的概念以及反三角函數、立方和差等高次多項式的分解、三角函數的和差化積與積化和差公式、琴生不等式、空間解析幾何等;《概率論與數理統計》中計數原理與排列組合、計數方法、等可能概型等。在這個過程中,每個專業、每個班級的實際情況各不相同,教師可以通過調查問卷等形式了解學生的基本情況。教學過程中,教師應把握好教學進度,由慢而快,從易到難,使學生在接觸預備知識的過程中有充分的時間來適應大學的學習環境與學習方式,讓學生有足夠的信心來填補知識盲區,避免日后學習新知識的過程中學習興趣與成就感的喪失,從而提高學生的學習積極性。

        三、教學方法的雕琢

        教學過程中,教師在講授新內容、新概念的時候,應當多思考所講內容對已形成思維定勢的學生是否能夠接受,在此過程中應添加與之相關的中學知識加以聯系補充。例如:《高等數學》中最基本也最重要的極限概念,很多學生在學習極限時,無法正確的理解無窮這一抽象的概念,畢竟它與中學數學那些客觀性、可描述性的概念不同。此時,可以借助中小學的一個基本常識來講解———0.999·=1。這是一個既能夠引起學生聽課興趣,又能讓學生很好的理解無窮概念的例子。而等比數列的部分和計算是剛經歷高考的他們再熟悉不夠的知識了。通過高中階段掌握得內容來推導出新的知識點,從而建立聯系,最后構造完整的知識體系,是學生們最容易接受且印象深刻的教學方式。再者,這種方式能夠很好的引導學生思考,通過不同角度的認識與理解已有知識,對其進行合理的推演,得出新的概念,從而實現舊思維方式到新思維方式的轉變。大學數學中,有很多可以通過這種“搭橋推演法”來幫助學生理解的內容,如導數概念、定積分概念等。在推演的過程中讓學生自然而然的達到思維的鍛煉與提升,而不是生搬硬套的背定理、記公式。

        四、案例———《概率論與數理統計》

        接下來用一個案例來闡述如何在教學過程中做好知識的填補與教學方法的提升。以概率統計為例,在《普通高中課程標準實驗教科書·數學(人教版)》教材中共有三本教材涉及到概率統計的知識,其中第一本是文理通用的必修3;第二本是適用于文科學生的選修1~2;第三本是適用于理科生的選修2~3。必修3作為全體高中生的必修教材,將概率與統計兩部分最基本的內容以簡明的方式呈現給學生。統計部分,包括了隨機抽樣、用樣本估計總體與變量間的相關關系,從如何獲得樣本到如何處理樣本,再到如何通過樣本去分析總體,章節間層層遞進,從現實生活中常見的例子引導學生正確的理解統計的思想,以及統計學與數學間的思維差異;概率部分,包括了隨機事件的概率、古典概型與幾何概型,在學生們未接觸計數原理的情況下介紹了最常見的兩個概率模型,教材在這部分內容的處理上加入了抽樣背景與實際例子,既能承接統計內容又能讓學生更好地理解概念。文科數學在必修3的基礎上,還要學習選修1~2的兩個內容———獨立性檢驗與線性回歸分析,這部分內容是進一步培養文科學生對數據的整理能力與分析能力,可以說是對必修3中統計內容的升華;而選修2~3除了這兩個內容外,還對計數原理與隨機變量的分布有所要求,可以說計數原理是大學概率論的基礎,缺失了這一部分內容學習概率論將會非常吃力。大學的概率統計課程是理工科學生與經管類專業學生的必修課程,以浙江大學編著的《概率論與數理統計(第四版)》為例,該教材是非理學專業考研的指定教材,具有一定的代表性。在教材的第一章《概率論的基本概念》中并沒有計數原理的相關內容,但卻在等可能概型這一節中直接使用了排列組合的方法,對高中階段沒有學習過計數原理的文科生來說,這無疑是一個巨大的挑戰。針對這種情況,有必要進行相應的知識填補,在正式進行教材學習之前,應適當的增加一些學時用于對計數原理的講授。安排如下。

        (一)第一次課兩個計數原理(2學時)

        1.分類相加計數原理。文科學生在高中階段僅學過枚舉法計數,因此從分類相加法入手能很好的聯系已有的知識體系,構建新的框架。再者,分類相加法是組合數的基礎,是古典概型求概率的常用計數方法。2.分步相乘計數原理。分步相乘法是非常重要的一個計數原理,它是排列數的基礎,對學生理解相互獨立等后期的概念很有幫助。

        (二)第二次課排列組合(4學時)

        1.排列組合。排列組合是計數的一個重要手段,是古典概型求概率的常用方法,通過之前對兩個基本計數原理的學習可以很好的理解排列組合的概念,從而掌握使用方法。在教學過程中,通過對兩個計數原理的拓展與推演,得出排列組合的原理,溫故而知新。2.計數方法的拓展。在計數過程中有很多特定的方法與原則,如“間接法”、“捆綁法”、“插空法”、“隔板法”、“特殊位置優先考慮原則”與“先組合后排列原則”等,這些方法常用于古典概型求概率的過程中。在教學過程中,要通過一些例子將這些拓展型的方法與技巧教授給學生,為后面學習概率與等可能概型奠定基礎。在新內容的教授之前,教師應該先對學生在高中階段的已學內容進行一個高度的總結,讓學生能清晰地認識到將學內容與已學內容之間的聯系與區別。在備課的過程中,盡量以“備學生”為宗旨,了解學生的基本情況,制定相應的教學計劃,不能讓知識的斷層與階段差異變成學生的學習負擔。總而言之,為了更好地讓學生從中學數學到大學數學平穩的過渡,教學要實現知識斷層的銜接、思維方式的轉變。這無疑對教師又提出了一個重大的任務,應當認真對待這個問題,通過合理的調查、收集和分析,科學的制定相應的教學計劃,使大學數學的教學質量和學生們的學習能力得到進一步的提高。

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        《中學數學與大學數學銜接探討》來源:《產業與科技論壇》,作者:陳博照

      文章標題:中學數學與大學數學銜接探討

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